样品前处理

数据处理的基本方法

一、热敏电阻的物理特性与表示
热敏电阻：是一种阻值随温度变化的元件，阻值随温度增加而上升的为正温度系数（Positive temperature coefficient）热敏电阻，简称PTC  反之称为负温度系数(Negative temperature coefficient)热敏电阻NTC
热敏电阻的物理特性用下列参数表示： 电阻值、B值、耗散系数、热时间常数、电阻温度系数。
1、 电阻值：R〔Ω〕电阻值的近似值表示为：R2=R1exp[B（1/T2-1/T1）]
其中：  R2： 绝对温度为T2〔K〕时的电阻〔KΩ〕
R1： 绝对温度为T1〔K〕时的电阻〔KΩ〕
            B：  B值〔K〕
2、 B值：B〔k〕  B值决定于热敏的电导激活能，是反映热敏电阻阻值随温度变化快慢的参数，也称材料常数。
表达式为：B=［T1*T2/(T2-T1)］*Ln(R1/R2)
      其中：B：(T1-T2)温区内B值(K)
            R1：绝对温度为T1(K)时的电阻(kΩ)
            R2：绝对温度为T2(K)时的电阻(kΩ)
3、 耗散系数：δ〔mW/℃〕  耗散系数δ是热敏电阻消耗的电功与电功所造成的热敏电阻的温升值之比： δ=W/(T-Ta)=I2R(T-T2)
  其中：δ：耗散系数(mW/℃)
              W：热敏电阻消耗的电功(mW)
              T：达到热平衡后的温度值(℃)
              Ta：室温(℃)
                I：在温度T时加在热敏电阻上的电流值(mA)
              R：在温度T时加在热敏电阻上的电阻值(Ω)
在测量温度时，应注意防止热敏电阻由于自加热(焦耳热)所造成的温升。
4、热时间常数： τ〔sec.〕热敏电阻在零功率条件下，所处的温场由T1变化至T2，热敏电阻的温度有个滞后，热敏电阻的温度在初始值和最终值之间63.2改变%所需的时间就是执时间系数τ。
5、电阻温度系数：α〔%/℃〕  α是表示热敏电阻温度每变化1℃，其电阻值变化程度的系数(即变化率)，用α=1/R·dR/dT表示，计算式为：
        α=1/R·dR/dT×100=－B/T1×100
  其中：α：电阻温度系数(%/℃)
        R：绝对温度T(K)时的电阻值(Ω)
        B：B值(K)



二、数据处理的基本方法

我们在谈数据处理的基本方法之前，先讲一下测量与误差的基本概念，什么是测量？什么是误差？测量就是以确定量值为目的的一组操作。误差是测量结果与真值的差异。定量表示为：△X=X-X0  △X，测量误差；X，测量结果；XO，真值。真值有理论真值；约定真值；相对真值。理论真值如：三角形的内角和等于180度。约定真值如：基准米为：1M=1650763.73λ(氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长.); 相对真值如：检定所给的校准值.
我们已经知道测量与误差的基本概念，现在讨论测量结果的最佳值、误差和不确定度的计算。我们进行测量实验的最终目的是为了通过数据的获得和处理，从中揭示出有关物理量的关系，或找出事物的内在规律性，或验证某种理论的正确性，或为以后的实验准备依据。因而，需要对所获得的数据进行正确的处理，数据处理贯穿于从获得原始数据到得出结论的整个实验过程。包括数据记录、整理、计算、作图、分析等方面涉及数据运算的处理方法。常用的数据处理方法有：列表法、图示法、图解法、逐差法、最小二乘法和线性拟合法等，下面分别予以简单讨论。
  
（一）、列表法
列表法是将实验所获得的数据用表格的形式进行排列的数据处理方法。列表法的作用有两种：一是记录实验数据，二是能显示出物理量间的对应关系。其优点是，能对大量的杂乱无章的数据进行归纳整理，使之既有条不紊，又简明醒目；既有助于表现物理量之间的关系，又便于及时地检查和发现实验数据是否合理，减少或避免测量错误；同时，也为作图法等处理数据奠定了基础。
    用列表的方法记录和处理数据是一种良好的科学工作习惯，要设计出一个栏目清楚、行列分明的表格，也需要在实验中不断训练，逐步掌握、熟练，并形成习惯。
一般来讲，在用列表法处理数据时，应遵从如下原则：
(1)栏目条理清楚，简单明了，便于显示有关物理量的关系。
  (2)在栏目中，应给出有关物理量的符号，并标明单位(一般不重复写在每个数据的后面)。
  (3)填入表中的数字应是有效数字。
  (4)必要时需要加以注释说明。
例如，对一批热敏电阻的测量数据列表处理如下。
用螺旋测微计测量钢球直径的数据记录表


                                          KΩ
次 数 初读校准数(KΩ) 测量结果读数(KΩ) 阻值D(KΩ)  ( KΩ)
1 0.004 6.002 5.998 +0.0013
2 0.003 6.000 5.997 +0.0003
3 0.004 6.000 5.996 -0.0007
4 0.004 6.001 5.997 +0.0003
5 0.005 6.001 5.996 -0.0007
6 0.004 6.000 5.996 -0.0007
7 0.004 6.001 5.997 +0.0003
8 0.003 6.002 5.999 +0.0023
9 0.005 6.000 5.995 -0.0017
10 0.004 6.000 5.996 -0.0007

从表中，可计算出
          （KΩ）  取  KΩ， 。
不确度的A分量为（运算中 保留两位存疑数字）
                      （KΩ）
B分量为(按均匀分布)          （KΩ）
则  （KΩ）      取  ( KΩ)
测量结果为 ( KΩ)。
    （二）、图示法
    图示法就是用图象来表示物理规律的一种实验数据处理方法。一般来讲,一个物理规律可以用三种方式来表述:文字表述、解析函数关系表述、图象表示。图示法处理实验数据的优点是能够直观、形象地显示各个物理量之间的数量关系，便于比较分析。一条图线上可以有无数组数据，可以方便地进行内插和外推，特别是对那些尚未找到解析函数表达式的实验结果，可以依据图示法所画出的图线寻找到相应的经验公式。因此，图示法是处理实验数据的好方法。

要想制作一幅完整而正确的图线，必须遵循如下原则及步骤：
    1.选择合适的坐标纸。作图一定要用坐标纸，常用的坐标纸有直角坐标纸、对数坐标纸、极坐标纸等。选用的原则是尽量让所作图线呈直线，有时还可采用变量代换的方法将图线作成直线。
    2.确定坐标的分度和标记。一般用横轴表示自变量，纵轴表示因变量，并标明各坐标轴所代表的物理量及其单位(可用相应的符号表示)。坐标轴的分度要根据实验数据的有效数字及对结果的要求来确定。原则上，数据中的可靠数字在图中也应是可靠的。即不能因作图而引进额外的误差。在坐标轴上应每隔一定间距均匀地标出分度值，标记所用有效数字的位数应与原始数据的有效数字的位数相同，单位应与坐标轴单位一致。要恰当选取坐标轴比例和分度值，使图线充分占有图纸空间，不要缩在一边或一角。除特殊需要外，分度值起点可以不从零开始，横、纵坐标可采用不同比例。
    3.描点。根据测量获得的数据，用一定的符号在坐标纸上描出坐标点。一张图纸上画几条实验曲线时，每条曲线应用不同的标记，以免混淆。常用的标记符号有☉、╂、╳、△、□等。
    4.连线。要绘制一条与标出的实验点基本相符的图线，图线尽可能多的通过实验点，由于测量误差，某些实验点可能不在图线上，应尽量使其均匀地分布在图线的两侧。图线应是直线或光滑的曲线或折线。
    5.注解和说明。应在图纸上标出图的名称，有关符号的意义和特定实验条件。如，在绘制的热敏电阻-温度关系的坐标图上应标明“电阻—温度曲线”；“ ╂ —实验值”；“ ╳—理论值”；“实验材料：碳膜电阻”等。
    （三）、图解法
    图解法是在图示法的基础上，利用已经作好的图线，定量地求出待测量或某些参数或经验公式的方法。
    由于直线不仅绘制方便，而且所确定的函数关系也简单等特点，因此，对非线性关系的情况，应在初步分析、把握其关系特征的基础上，通过变量变换的方法将原来的非线性关系化为新变量的线性关系。即，将“曲线化直”。然后再使用图解法。
    下面仅就直线情况简单介绍一下图解法的一般步骤：
1.选点。通常在图线上选取两个点，所选点一般不用实验点，并用与实验点不同的符号标记，此两点应尽量在直线的两端。如记为 和 ，并用“+”表示实验点，用“☉”表示选点。
2.求斜率。根据直线方程 ，将两点坐标代入，可解出图线的斜率为
  。
3.求与y轴的截距。 可解出  。
4.与x轴的截距。 记为  。
例如，用图示法和图解法处理热敏电阻的电阻 随温度T变化的测量结果。
    (1)曲线化直：根据理论，热敏电阻的电阻—温度关系为：  。
为了方便地使用图解法，应将其转化为线性关系，取对数有
        。 令 ， ， ，有  。
这样，便将电阻 与温度T的非线性关系化为了 与 的线性关系。
(2)转化实验数据：将电阻 取对数，将温度T取倒数，然后用直角坐标纸作图，将所描数据点用直线连接起来
(3)使用图解法求解：先求出 和 ；再求 ；最后得出 ～T函数关系。
    （四）、逐差法
    由于随机误差具有抵偿性，对于多次测量的结果，常用平均值来估计最佳值，以消除随机误差的影响。但是，当自变量与因变量成线性关系时，对于自变量等间距变化的多次测量，如果用求差平均的方法计算因变量的平均增量，就会使中间测量数据两两抵消，失去利用多次测量求平均的意义。例如，在拉伸法测杨氏模量的实验中，当荷重均匀增加时，标尺位置读数依次为 ，如果求相邻位置改变的平均值有
    =
即中间的测量数据对 的计算值不起作用。为了避免这种情况下中间数据的损失，可以用逐差法处理数据。
    逐差法是物理实验中常用的一种数据处理方法，特别是当自变量与因变量成线性关系，而且自变量为等间距变化时，更有其独特的特点。
逐差法是将测量得到的数据按自变量的大小顺序排列后平分为前后两组，先求出两组中对应项的差值(即求逐差)，然后取其平均值。例如，对上述杨氏模量实验中的10个数据的逐差法处理为：
    1.将数据分为两组
      Ⅰ组：    Ⅱ组：
    2.求逐差： ， ， ， ，
    3.求差平均：
在实际处理时可用列表的形式较为直观，如：
Ⅰ组 Ⅱ组 逐差（ ）
   
   
   
   
   
    但要注意的是：使用逐差法时之 ，相当于一般平均法中 的 倍(n为 的数据个数)。
（五）、最小二乘法（least square，method of）
科学实验和统计工作中常用的一种数据处理方法。由A.M.勒让德和C.F.高斯于19世纪初分别独立提出。例如要从一组实验数据（xi，yi）（i=1，2，…，m）中，寻找自变量x与因变量y之间的函数关系y=F（x）。由于观测数据往往不准确，因率不要求y=F（x）经过所有数据点，而只要求所在所有给定点xi上的偏差ri＝F（xi）－yi（i＝1，2，…，m）的平方和 达到最小。F（x）的函数类型往往与实验的物理背景以及数据的实际分布有关，它一般含有某些待定参数。如果F（x）是所有待定参数的线性函数，那么相应的问题称为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。最小二乘法还是实验数据参数估计的重要工具。这是因为这种方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情况下，用最小二乘法还能提供解答，而且从统计学的观点分析，用该方法求得各项估计具有最优统计特征，因此这一方法也是系统识别的重要基础。线性最小二乘问题可以借助多元微分学知识通过求解法方程组得到解答。求解非线性最小二乘问题比较困难，一般要用线性化方法或最优化方法才行。
在现实中经常遇到这样的问题，一个函数并不是以某个数学表达式的形式给出，而是以一些自变量与因变量的对应表给出，老师讲课的时候举的个例子是犯罪人的身高和留下的脚印长，可以测出一些人的数据然后得到一张表，它反应的是一个函数，回归的意思就是将它还原成数学表达式，这个式子也称为经验表达式，之所以叫经验就是说它不完全是实际中的那样准确，是有一定偏差的，只是偏差很小罢了。
最小二乘法 设经验方程是y=F(x)，方程中含有一些待定系数an，给出真实值{(xi,yi)|i=1,2,...n},将这些x,y值代入方程然后作差，可以描述误差：yi-F(xi)，为了考虑整体的误差，可以取平方和，之所以要平方是考虑到误差可正可负直接相加可以相互抵消，所以记误差为：e=∑(yi- F(xi))^2
它是一个多元函数，有an共n个未知量，现在要求的是最小值。所以必然满足对各变量的偏导等于0，于是得到n个方程：de/da1=0
                  de/da2=0
                  ...
                  de/dan=0
n个方程确定n个未知量为常量是理论上可以解出来的。用这种误差分析的方法进行回归方程的方法就是最小二乘法。
线性回归：如果经验方程是线性的，形如y=ax+b，就是线性回归。按上面的分析，误差函数为：e=∑(yi-axi-b)^2
各偏导为：de/da=2∑(yi-axi-b)xi=0
de/db=-2∑(yi-axi-b)=0      

于是得到关于a,b的线性方程组：
  (∑xi^2)a+(∑xi)b=∑yixi
                                                              (∑xi)a+nb=∑yi

设A=∑xi^2,B=∑xi,C=∑yixi,D=∑yi，则方程化为：Aa+Bb=C  Ba+nb=D
解出a,b得：  a=(Cn-BD)/(An-BB)
b=(AD-CB)/(An-BB)

即可得出形如y=ax+b的一元线性关系式。